独家优惠奖金 100% 高达 1 BTC + 180 免费旋转

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah sebuah metode deduktif yang digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah.

A. Konsep Dasar

Induksi matematika merupakan sebuah metode deduktif yang digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah.

Pada dasarnya, terdapat tiga langkah dalam induksi matematika agar dapat membuktikan apakah suatu rumus atau pernyataan dapat bernilai benar atau justru sebaliknya.

Langkah-langkah tersebut adalah :

Himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil.

Secara lebih formal, prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V yang merupakan himpunan bagian dari N, maka ada v0anggota V sedemikian sehingga v0 ≤ v untuk setiap v anggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N.

2. Prinsip Induksi Matematika
Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:
(1) S memiliki anggota bilangan 1; dan
(2) Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S.
Maka diperoleh S = N.

Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara formal, kita akan mencoba memahaminya dengan menggunakan efek domino seperti berikut.

Pada gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino. Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya. Bagian (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino. Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktif dan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah. Hal ini merupakan analogi dari S = N. Bagaimana dengan bukti formal dari prinsip induksi matematika?

Bukti Andaikan S ≠ N. Maka himpunan N – Sbukan merupakan himpunan kosong, sehingga berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecil m. Karena 1 anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m > 1. Tetapi hal ini akan mengakibatkan bahwa m – 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < mdan m adalah anggota terkecil dari N – S, maka m – 1 anggota S.

Pada deret bilangan, biasanya persoalan induksi matematika dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga, harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke-k dan suku ke-(k + 1).

Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n² bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²

Langkah awal :

Misalkan n = 1, maka

P₁ : 1 = 1²

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar, maka P(k+1) juga benar, yaitu

P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²

Hasil asumsi :

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k²

Tambahkan kedua ruas dengan U(k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + (2k+1)

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = k² + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)²

Maka, P(k+1) benar.

Jenis ini biasa kita temukan pada soal yang mengandung kalimat sebagai berikut :

Ciri tersebut menunjukan bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika jenis pembagian.

Hal yang perlu diingat adalah, apabila a habis dibagi b maka a = b.m, dimana m merupakan bilangan bulat.

Buktikan jika n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan :

P(n) = n³ + 2n dapat habis dbagi 3

Langkah awal :

Misal n = 1, maka

P₁ : 1³ + 2.1 = 3

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = k³ + 2k habis dibagi 3

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar , maka P(k+1) juga benar, yaitu

(k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3

Hasil asumsi :

Karena pada langkah sebelumnya sudah diketahui bahwa k³ + 2k habis dibagi 3 dan 3(k2 + k + 1) juga habis dibagi 3, maka (k3 + 2k) + 3(k2 + k + 1) pasti habis dibagi 3.

Jadi, benar.

Jenis ketidaksamaan ini ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari dalam pernyataannya. Sifat-sifat yang sering digunakan untuk pernyataan jenis pertidaksamaan adalah sebagai berikut :

a < b < c ⇒ a < c atau a > b > c ⇒ a > c

a > b ⇒ a + c > b + c atau a < b ⇒ a + c < b +c

Buktikanlah untuk setiap bilangan asli n ≥ 2 berlaku 3n > 1 + 2n

Pembahasan :

P(n) = 3n > 1 + 2n

Langkah awal :

Misal n = 2, maka

P₁ : 32 = 9 > 1 + 2.2 = 5

Jadi, P₁ benar.

Langkah induksi :

Misal P(k) = 3k > 1 + 2k, k ≥ 2

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar, maka P(k + 1) juga benar, yaitu

3k+1 > 1 + 2(k + 1)

Add a comment

What is your view?

Send

Related posts:

Cycle Times with JIRA

Cycle Times present really interesting insights into how your team is Jira delivering and can highlight any potential bottlenecks in the flowprocess as well as serving as good benchmark for the team…

End of Everything

Seperti yang sudah-sudah, Hasnan datang lebih dulu daripada Zena. Laki-laki itu duduk di kursi dekat jendela favorit mereka dulu. Zena menepuk pelan dada kirinya sebelum membuka pintu kafe dan…

Silver IRA Investment

Silver IRA investing offers a unique investment opportunity for retirement savers. It is an efficient way to diversify your portfolio with precious metal assets and take advantage of the potential…